В этом материале вам встретятся сложные слова и формулировки (мы сами их не понимаем), однако отнеситесь к этому, как к поэзии. В конце концов, вся теоретическая математика — это в каком-то смысле поэзия. Пару дней назад мы поздравляли с днём рождения одного из важнейших живущих учёных — Григория Перельмана, доказавшего гипотезу Пуанкаре, превратив её в теорему Пуанкаре-Перельмана. Эта теорема — единственная решённая задача из семи задач тысячелетия — главных математических проблем в истории науки. Рассказываем об остальных.
Своды мечети Шейха Лютфуллы, Иран (лицензия CC)
Задачи тысячелетия были обозначены Математическим институтом Клэя в 2000 году и определены как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет». Решение каждой из великих задач сулит гению награду в 1 миллион долларов США (напомним, что Григорий Перельман от денег отказался).
Существует историческая параллель между задачами тысячелетия и списком проблем Гильберта 1900 года, оказавшим существенное влияние на развитие математики в XX веке; из 23 проблем Гильберта большинство уже решены, и только одна — гипотеза Римана — вошла в список задач тысячелетия.
Решённая задача — теорема Пуанкаре-Перельмана
Считается наиболее известной проблемой топологии. Неформально говоря, она утверждает, что всякий трёхмерный «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации. Трёхэтапное решение задачи Григорием Перельманом — крайне сложное даже для математиков высокого уровня. К примеру, большинство докторов физико-математических наук практически совершенно не понимают этого доказательства.
Нерешённые задачи
Равенство классов P и NP. Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро (за полиномиальное время) проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи второго типа относятся к классу P, первого — к классу NP. Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов.
Гипотеза Римана. Гипотеза гласит, что все нетривиальные (то есть имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно в области распределения простых чисел.
Гипотеза Ходжа. Важная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы когомологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями.
Теория Янга — Миллса. Задача из области физики элементарных частиц. Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы G квантовая теория Янга — Миллса для пространства R^4 (четырёхмерного пространства-времени) существует и имеет ненулевую спектральную щель. Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось.
Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса. Эти уравнения описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях.
Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера. Математическая гипотеза относительно свойств эллиптических кривых. Требуется ответ на вопрос, при каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числах.
Другие материалы рубрики «Чтобы вы знали»:
Белая роза, ставшая эмблемой Йорков, отсылала к Богородице. Алая роза, по преданию, была привезена в Европу из Дамаска, роза была увидена рыцарем в крестовом походе...
Французский шеф-повар Огюст Эскофье утверждал, что «из всех блюд в меню суп — это то, что требует самого деликатного совершенства». Однако возникновение супа обусловлено отнюдь не гастрономическими изысканиями...
Он назывался FNRS-2. Представлял собой гондолу из стали (этот элемент был позаимствован из устройства стратостата FNRS-1 — воздушного шара, поднимавшегося в верхние слои атмосферы; только там в качестве материала использовался алюминий)...
