Пишутся и звучат эти слова похоже. Но они, конечно же, очень разные. "РадУшный" происходит от слова "радушие" (открытое, сердечное расположение к людям, к гостям).
Интересно, что "радушие" есть только в русском и болгарском языках, в других славянских языках это слово отсутствует. Зато уж в русском замечено с начала XVIII века! Предполагают, что возникло оно из слова "радодушие" - так же, как в свое время "курносый" из "корноносый".
"Радужный" - это от "радуги", разноцветной полосы на небосводе. Однако в древнерусском языке, как выясняется, не было слова "радуга", было просто "дуга". Языковеды не исключают, что это слово тоже образовалось из двух: "радо-дуга", так же как "радо-душие".
Вот видите, начинали мы с того, что "радушный" и "радужный" - слова совсем разные, но этимология коварна: стоит в нее углубиться, и все слова оказываются в какой-то степени родственниками.
Однако это было в далеком прошлом, сейчас их все же лучше не путать.
Марина Королева
